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Soient (fig. 57) deux triangles ABC et A'B'C’ tels que 
ABB AGE CE BC BC ORNE (4) 
Sur le côté AB du triangle ABC, prenons AB” — A'B', et 
C 
EL 
Q 
A JE Al B 
Fig. 37. 
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menons la parallèle B”C” à BC. Les deux triangles ABC et 
AB"C” sont semblables comme ayant leurs angles égaux chacun 
à chacun (159); leurs côtés sont donc proportionnels et l'on a 
AB AB = AC AC AIR: BC 0) 
Or, AB’ — A'B' par construction. Les deux proportions (1) 
et (2) ont ainsi un rapport commun. Les autres rapports sont 
donc égaux, et l'on a 
AC : A'C’ — AC : AC”, et BC : B'C’ — BC : BC”. 
Ces deux proportions ont leurs antécédents égaux; les consé- 
quents sont donc égaux, et l'on a : A'C’ — AC”; B'C' — BC”. 
Les deux triangles A'B'C' et ABC" ont ainsi leurs côtés 
égaux chacun à chacun; ils sont donc égaux (129); et comme 
AB''C'' est semblable à ABC, A’'B'C' est aussi semblable à ABC. 
Scolie 1. — La démonstration se simplifie par la remarque 
que la majoration convenable du triangle A'B'C', en rendant 
ses côtés égaux à ceux du triangle ABC, le rend égal à celui-ci. 
Donc avant la majoration il lui était semblable. Si je n’ai pas 
usé de cette démonstration légitime, c'est uniquement pour ne 
pas heurter les habitudes. 
Scolie 2. — Cette proposition peut se démontrer directement 
en partant du théorème 156. 
