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Soit (fig. 58) un triangle ABC, et O un centre quelconque 
c de majoration (111). Le triangle 
à Fe OAC est déterminé ainsi que 
8 #/_i \w OAB et OBC, puisque les trois 
Aie \ 7 sommets de chacun sont don- 
LS nés (125). Minorons la figure en 
O'A'B'C’. Les triangles O’A’C', 
O'A'B" et O'B'C' seront respec- 
tivement semblables aux triangles 
OAC, OAB, OBC, comme ayant (110) des coins semblables, 
à savoir ceux qui ont O pour sommet; il s'ensuivra que les 
côtés AC, AB, BC seront proportionnels aux côtés A'C’, A'B, 
B'C'. De plus les angles ABC, BCA et CAB seront respective- 
ment égaux aux angles A'B'C', B'C'A et C'A'B', comme égaux 
à la différence ou à la somme d'angles égaux; par conséquent 
les deux triangles ABC et A'B'C' auront leurs trois coins sem- 
blables. C. Q. F. D. 
Scolie. — Les polygones ou lignes polygonales semblables 
peuvent se décomposer en triangles semblables et se décrire au 
moyen de ces triangles. 
Les triangles semblables chacun à chacun sont dits homo- 
logues. 
Cor. — Les polygones et lignes polygonales semblables ont 
leurs angles égaux chacun à chacun et les côtés homologues 
proportionnels. (Cf. 117, corol.) 
Observation. — Il me sera permis de faire observer que la 
théorie entière de la similitude des triangles a été exposée sans 
recourir au postulat d'Euclide — que nous allons d’ailleurs 
démontrer. Cette théorie aurait pu s’abréger de beaucoup; mais 
j'ai tenu à me conformer dans cel essai aux lenteurs de la 
géométrie scolaire usuelle. Si parfois j'ai enchainé trois ou quatre 
théorèmes, cet enchainement a été rarement nécessaire. 
En tête de la nouvelle géométrie, j'inscrivais ce desideratum : 
éviter les théorèmes de pur passage, si je puis ainsi les nom- 
mer, et appuyer la démonstration sur les principes et les données 
que suppose son énoncé. Je vais, comme spécimen, démontrer 
Fig. 35. 
