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directement le théorème capital sur la similitude, en invoquant 
seulement les connaissances qu'implique la notion des triangles 
semblables. 
Ces connaissances comprennent : 1° les conditions générales 
d'égalité des figures (même grandeur et même forme), celles de 
leur similitude (mème forme), le principe que la majoration 
répétée dans un rapport donné d'une même figure conduit à des 
figures identiques (45, cor. 5); 2° les conditions spéciales de 
l'égalité des triangles (égaux quand ils ont un coin égal, d'où la 
symétrie des triangles isocèles, ete.) ; la propriété des triangles 
égaux qu'aux côtés égaux sont opposés des angles égaux et réci- 
proquement; enfin la propriété des coins semblables de ren- 
fermer le même angle entre côtés proportionnels (126, 127, 130 
et cor., 117, 156). 
Cela admis, voiei la démonstration directe de la proposition 137, 
que, dans les triangles semblables, les angles sont égaux chacun 
à chacun et les côtés homologues proportionnels. 
Dém. — Soit (fig. 59) un triangle scalène ABC. Ce triangle 
est déterminé par l’un quelconque de ses 
coins, soit À, soit B, soit C. 
Majorons tour à tour chacun d'eux dans 
le même rapport arbitraire À :m ; nous for- 
..  merons ainsi trois triangles semblables 
! au triangle ABC, à savoir AB'C', A'BC", 
A'"B"C, et égaux entre eux, puisqu'ils out 
3 mème grandeur et même forme (45, 
FOSTER cor. 5). 
Fie. 29 Il résulte de la construction que 
g. 39. 
AB'=— mAB; (1) AC'— mAC; (2) BC” = mBC; (5) 
BA' — mBA; (4) CA'"= mCA; (5) CB” = mCB; (6). 
De la comparaison des égalités (1) et (4), (2) et (5), (5) et (6), 
il suit que : AB'— BA’; (7) AC'— CA"; (8) BC” — CB”; (9). 
Enfin de ce que les triangles égaux ont leurs angles égaux 
chacun à chacun et qu'aux côtés égaux sont opposés des angles 
