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égaux, il résulte respectivement des égalités (7), (8) et (9), l'éga- 
lité des angles C’ et C”’ (10); B' et B” (11); A’ et A” (12). 
Mais nous ne savons pas et nous avons à démontrer que 
B'C'— mBC; (13)  A'C'—mAC; (14)  A'B" — mAB (15) 
et que les angles C’ et C’’ sont égaux à C (16); B' et B'’ à B (17); 
A' et A'’ à À (18). 
Or si, dans les deux triangles égaux AB’C' et A'BC', où 
l’angle C’ = C”’ (10), l'angle A n'était pas égal à l'angle A’, il 
serait égal à l’angle B', et par conséquent le triangle AB'C' et 
son semblable ABC seraient isocèles, ce qui est contraire à l'hy- 
pothèse. Donc l'angle À — A'— A” (18); B—B'— B” (17) 
EU CN (16) C. Q. F. D. 
L'angle A étant égal à A’, il s'ensuit que B'C' — BC’, et 
comme BC” = mBC (5), il s'ensuit que B'C' = mBC (15); et 
de même nous trouverons que A’C” — mAC (14) et que 
A''B" — mAB (15). C. Q. F. D. 
Scolie. — La condition que le triangle ABC füt scalène était 
nécessaire. Il est clair, en effet, que si le triangle était, par 
exemple, équilatéral, B'C’ n'égalerait pas seulement mAB, mais 
aussi mBC et mAC, et l'angle B' ne serait pas seulement égal 
à B, mais aussi à C et à A. Observation analogue pour le cas où 
le triangle ABC serait isocèle. 
Ici se termine la théorie de la similitude des triangles. Elle 
aurait pu être abrégée notablement, je l'ai dit à maintes reprises. 
Elle est, en effet, contenue tout entière dans celle de la simili- 
tude des droites interrompues (72) et des coins (117) et n'en 
conslitue qu'une pure application. Les longues démonstrations 
dont les théorèmes qui suivent ont été l'objet, n'avaient d'autre 
raison d'être que de ne pas rompre trop radicalement avec les 
procédés usuels. On pressent que la recherche des conditions de 
similitude des autres figures planes ou spatiales ne présentera 
aucune difficulté nouvelle. C’est ce que nous allons faire voir 
brièvement !. 
1 Le lecteur désireux de plus amples développements les trouvera dans mes 
Prolégomènes, pp. 247 et suiv. 
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