C7) 
CHAPITRE VIIL. — Le Pposruzarun D'Eucuine. 
Après ces digressions, nous reprenons la suite de nos théorèmes 
et abordons la démonstration directe du postulatum d’Euclide. 
Nous avons pu nous en passer jusqu'ici. C'est assez dire qu'on 
sera rarement dans la nécessité d'en faire usage. Au fond, ce 
n'est presque plus qu'une simple curiosité, comme il y en a 
d’autres encore dans les sciences mathématiques. 
Reportons-nous à la définition du biangle unilatère (124) et 
au scolie premier, qui, par extension, fait rentrer dans les 
biangles de cette espèce la figure formée de deux parallèles cou- 
pées par une sécante. Comme les parallèles ne peuvent se 
rencontrer (118, cor. 1), cette figure ne peut devenir triangle. 
La question est maintenant de savoir s’il existe des biangles dont 
les côtés libres non parallèles ne se rencontrent pas, si loin qu'on 
les prolonge. 
A celte question, le postulatum d'Euclide répond négative- 
ment ; il affirme que les droites non parallèles se rencontrent si 
on les prolonge suffisamment. 
Le scolie de la proposition 118 fait remarquer que la défini- 
tion des parallèles (droites ayant même direction) est la dérivée 
(47) de la définition de l'angle (semi-droites partant d’un même 
point, 94). 
Ceci demande quelque développement. 
Cette définition de l'angle, en tant que définition de figure, 
est irréprochable. Mais comme l'angle de deux droites subsiste 
même si on ne les prolonge pas jusqu'à leur point de rencontre, 
elle donne lieu à quatre propositions : 
1° Principale. — Les côtés d'un angle (c'est-à-dire deux droites 
qui partent d'un même point) ont des directions différentes. 
2 Inverse. — Deux droites qui ont des directions différentes, 
forment un angle (c’est-à-dire se rencontrent). 
3° Réciproque. — Deux droites qui ne forment pas d'angle 
(c'est-à-dire qui ne se rencontrent pas), ont même direction. 
F 
