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4° Dérivée. — Les droites qui ont même direction ne forment 
pas d'angle (ne se rencontrent pas). 
On voit immédiatement que la proposition 4° est la dérivée de 
la proposition 1°, el par conséquent, prise comme définition, elle 
est légitime au mème ütre et au même degré que celle-ci. 
Le postulatum d'Euclide peut se mettre à volonté sous la 
forme 2° — c'est celle que nous avons choisie — ou sous la 
forme 5°. Nulle part, que je sache, il n'est présenté de cette 
dernière façon, mais il l’est sous une forme équivalente : Par 
un point on ne peut mener qu'une parallèle à une droite (une 
parallèle, e’est-à-dire une droite qui ne rencontre pas l’autre). 
C'est parce que pareille transformation me parait inévitable 
que je préfère la formule 2. Au fond, cette formule est iden- 
tique avec la proposition même d'Euclide, car les droites non 
parallèles sont des droites qui font avec une même sécante et du 
même côlé de celle-ci deux angles dont la somme diffère de 
deux droits. 
On pourra s'élonner que nous ne voyions pas dans le postu- 
latum une conséquence du théorème sur la somme des angles 
du triangle. C’est pourtant là une opinion assez générale. C'était 
celle de Legendre. Cet ingénieux géomètre, en effet, démontre à 
laide d'un procès à l'infini que si, par supposition, on pouvait 
par un même point tirer deux parallèles à une même droite, il 
serait toujours possible de mener entre elles une droite passant 
par ce point et rencontrant la droite donnée. 
Critiquant autrefois cette démonstration, je disais que, même 
en l’admettant comme irréprochable, elle ne résout pas la diffi- 
culté dans son essence. Elle établit, si l’on veut, que toute droite 
qui fait un angle fini avec la vraie parallèle rencontre la droite 
donnée ; mais il faudrait prouver que cette parallèle ne peut pas 
osciller si peu que ce soil autour de sa position sans rencontrer 
cette dernière droite d’un côté ou de l’autre !, ou encore — 
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Voir Prolégomènes, pp. 216 et suiv. A ce propos, p. 218, je dis que la 
démonstration de Legendre tombe « sous le coup de la critique que j'ai 
dirigée contre les incommensurables » ; que Legendre ct son contradicteur 
