(99) 
cest ce que demandait M. Folie — qu'une droite tracée dans 
un angle et suffisamment prolongée, rencontre nécessairement 
au moins l’un des côtés !. 
En d’autres termes, il n’a pas été démontré qu'étant donnés 
trois angles dont la somme fait deux droits, on puisse toujours 
former un triangle qui les renferme (ef. 129", observation). 
Je disais aussi 2: « Le postulatum d’Euclide a une significa- 
tion bien plus haute que celle qu’on lui attribue généralement. 
pourraient se poursuivre éternellement s’ils divisaient indéfiniment, l’un, 
l'angle que fait la fausse parallèle avec la vraie, l’autre, l’angle que fait la 
vraie parallèle avec la sécante qu’il construit entre elles deux. 
Je saisis cette occasion pour revenir sur ma note de la page 33; je m'y 
accuse d’ignorance : je ne croyais pas dire si juste. Quelque temps après 
qu’elle avait été imprimée, M. Louis Couturat, le 12 juin, présentait à la 
Faculté des lettres de Paris, comme thèse pour le doctorat, un mémoire des 
plus remarquables au point de vue philosophique et, autant que je puis en 
juger, des plus savants, sur l’/nfini mathématique. Je n’ai pas encore eu le 
temps, cela se concoit, de lire ce gros volume de près de 700 pages. Mais 
si, lors de l’impression de ma note, j'en avais lu seulement le premier livre, 
où il est traité précisément du même sujet, je ne l’aurais certes pas publiée. 
Ce n’est pas que je sois prêt à abandonner toutes les idées que j'y déve- 
loppe, ni à déclarer toutes les difficultés levées, mais la science de M. Cou- 
turat a ébranlé mes convictions, et en tout cas m’a démontré, clair comme 
le jour, que la question des incommensurables avait, depuis l’époque où 
elle attirait mon attention, été travaillée et fouillée profondément par des 
penseurs dont j’ignorais les travaux. 
4 Il a paru à Leipzig (Teubner, 1895) une histoire par Paul Haeckel de la 
Théorie des parallèles depuis Euclidèé jusqu’à Gauss. Rendant compte de cet 
ouvrage dans la Revue des questions scientifiques (2e série, 1895, t. VII, 
pp. 605-613), M. Paul Mansion, professeur à l’Université de Gand, signala l’omis- 
sion par cet auteur des travaux de Legendre, « qui, dit-il, ont contribué beau- 
coup plus que ceux de Wallis aux progrès de la théorie des parallèles et sont 
plus originaux qu’ils ne le paraissent au premier abord ». J’ai analysé ces tra- 
vaux dans mes Prolégomènes ; maïs je ne sais comment il s’est fait que je n’ai 
pas relevé ce passage de la note II de la douzième édition, rappelé par M. Man- 
sion, qu’ « il fallait déduire de la définition de la ligne droite une propriété. . qui 
exclüt toute ressemblance avec la figure d’une hyperbole comprise entre ses 
asymptotes ». C’est cette propriété que postulait le lemme de M. Folie (v p. 6). 
? Voir Prolégomènes, pp. 202 et suiv. 
