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Pour devenir négative, de positive qu'elle était, une quantité qui 
varie d'une manière continue doit passer par zéro ou par l’infini; 
dans les deux hypothèses, la position intermédiaire est unique; 
et la seconde implique toujours le postulatum d'Euclide. Nous 
nous expliquons. 
« Soient MN et AC (fig. 40) deux droites perpendiculaires, 
et convenons de regarder comme positives les quantités comptées 
sur MN à droite du point C, et comme négatives les quantités 
comptées à gauche du même point. Une droite qui tourne 
autour du point À de droite à gauche, coupe la droite MN en 
des points tels que B, de plus en plus éloignés du point C, c'est- 
à-dire en des points à une distance CB positive de plus en plus 
grande ; cette distance devient infinie quand la droite a pris la 
position QP, parallèle à MN. Elle passe immédiatement au néga- 
tif par la continuation du mouvement qui amène la droite en AD. 
Quand elle a pris la position AC, l’abscisse est nulle, pour rede- 
venir ensuite positive. Or, les positions AC et QP sont uniques ; 
il est plus facile de le démontrer pour le cas de la perpendicu- 
larité (101, corol. 4) !; mais le cas du parallélisme est rétif. » 
Si l'on reprend la formule que nous avons donnée du postulat, 
— deux droites non parallèles suffisamment prolongées se ren- 
contrent, — on voit que la démonstration n’est valable que si l'on 
assigne le point de rencontre. C'est ce que nous allons faire, et 
cela très simplement. 
1 J'ajoute en note ceci: « Et pourtant encore la proposition que d'un 
point extérieur on ne peut abaisser qu'une perpendiculaire à une droite, 
n’est pas, jusqu’à présent, démontrée d'une manière bien simple et sans une 
duplication de la figure. » Il y a en effet un postulat de la perpendicularité 
comme un postulat du parallélisme. Maïs celui-ci frappe davantage parce 
que, à première vue, on ne voit pas comment on passe brusquement de 
l'infini positif à l'infini négatif. (Voir note 4, p. 54.) 
