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Dém. — Soient (fig. 42), comme précédemment, deux droites 
AX et BY faisant avec une sécante arbitraire AB deux angles 
: = internes dont la somme est inférieure à deux 
droits. Prenons un point C quelconque sur la 
droite AX et menons par ce point la droite CZ 
faisant avec AX un angle ZCX — 2 droits 
‘— (XAB + YBA); je dis que cette droite CZ 
prendra la position indiquée dans la figure. En 
effet, la somme des angles XCD et YDC faits 
avec une autre sécante quelconque CD passant 
par C, est aussi inférieure à deux droits (141), et par consé- 
quent la droite CZ tombera à gauche et son prolongement à 
droite de AX. De plus, elle sera paralléle à Y, car la somme des 
angles internes du même côté de CD sera égale à deux droits. 
Enfin, elle coupera la sécante AB, car elle doit sortir de la figure 
fermée ABDC (80) et elle n’en peut sortir en coupant la droite 
DB, puisqu’elle lui est parallèle ; elle coupera done AB en un 
point tel que E appartenant à la partie interceptée. C. Q. F. D 
Fig. 42. 
443. Théor. — Deux droites non parallèles, si on les prolonge 
- suffisamment, finissent par se rencontrer, et elles se rencontrent 
du côté où la somme des angles internes qu'elles font avec une 
même sécante arbitraire est inférieure à deux droits. 
Dém. — Soient (fig. 45) AX et BY deux droites non paral- 
R lèles et faisant avec une même sécante 
À arbitraire AB deux angles internes XAB, 
YBA dont la somme est inférieure à 
deux droits. Je dis que, suffisamment 
prolongées, elles se rencontreront en un 
point R, situé au-dessus de AB. 
En effet, d’un point quelconque C pris 
sur l'une des droites, soit la droite AX, 
menons une parallèle CE à l’autre droite 
BY; cette parallèle coupera la sécante AB 
quelque part en un point E de la partie interceptée (142). On 
aura ainsi un triangle ACE. Majorons ce triangle du point A 
Fig. 43. 
