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CHAPITRE IX. — LA MESURE DES LONGUEURS OU LES DISTANCES. 
Nous allons entrer dans un nouveau domaine de la géomé- 
trie, la mesure des grandeurs. 
Nous nous. bornerons naturellement à la mesure des lon- 
gueurs, c'est-à-dire des lignes. On sait que la mesure des sur- 
faces et des solides se ramène à celle de certaines lignes. 
Toute mesure suppose une unité définie de mesure. Par cela 
même toute grandeur mesurée ou bien à mesurer, en d'autres 
termes tout quantum, est censée composée d'unités ou de frac- 
tions d'unité; par conséquent, elle est censée isogène, c'est-à-dire . 
indéfiniment décomposable en parties égales. Donc l'unité elle- 
même, qui en est une portion, est une grandeur isogène. 
Dans le fait, il en est ainsi. Portions de droite ou arcs de cir- 
conférence, angles plans ou dièdres, carrés, cubes ou fuseaux 
sphériques sont des unités isogènes. 
Mais l'unité simplement isogène ne peut servir à mesurer que 
le quantum où elle est prise. Par exemple, un are de circon- 
férence ne peut mesurer que des ares de la circonférence à 
laquelle il appartient; cette espèce d'unité change de forme avec 
le rayon : un arc de deux degrés ne ressemble pas à un arc 
d’un degré pris sur une circonférence de rayon double. Seule, 
l'unité homogène — laquelle, comme on sait, est également iso- 
gène (44) — reste inaltérée dans sa forme, qu'on la multiplie 
ou qu'on la majore. Elle est donc toujours prête. 
De là vient que l'unité universelle pour la mesure des lon- 
gueurs est une portion de ligne droitc; celle des surfaces, une 
portion de plan; de mème que, forcément, l'unité de volume 
est une portion d'espace. 
De là vient aussi que mesurer une courbe au moyen d'une 
portion de droite, c'est la rectifier, et que mesurer une surface 
courbe au moyen d’une portion de plan, c'est la planifier !. 
4 Voir comment nous exposons celte question dans les Prolégomèénes 
(pp. 262 et suiv.) 
