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Jusqu'à présent nous n'avons pas eu à invoquer la proprièté 
de la ligne droite de mesurer la plus courte distance entre les 
points qui la terminent (cf. 70). 
A aller au fond des choses, ce n’est pas la notion de droite, 
mais celle de distance qui fera les frais des théorèmes qui vont 
suivre. Or, pour tout le monde, la distance entre deux lieux est 
le plus court chemin qui mène de l’un à l’autre. Ainsi chacun 
ratifiera sans hésitation une assertion comme celle-ci, que depuis 
le percement du Gothard la distance entre Lucerne et Milan est 
raccourcie. Sur notre globe, les distances les plus courtes, même 
les distances que l’on dit à vol d’oiseau, sont fatalement des ares 
de grand cercle. 
La nature d’ailleurs ne connaît pas de ligne droite. Ni l'aéro- 
lithe, ni la foudre, ni le son, ni la lumière, n’en décrivent. Ils 
suivent cependant le plus court chemin; mais ce chemin est la 
ligne de moindre résistance, ce n’est pas la ligne droite. Celle-ci 
n'a qu'une existence idéale dans et par la conception de l’espace 
géométrique, de l’espace homogène; c’est en lui seul qu'elle 
mesure les distances !. 
Aussi, quand on parle géométrie, les notions de droite et de 
distance tendent à se confondre et à se fondre; et la droite nous 
apparait comme seule propre à nous donner la mesure de la 
distance absolue des points de l’espace. 
De là vient que de tout temps on a été porté à la définir comme 
la ligne minimum, ou sinon, à lui accorder ce caractère soit par 
un axiome ou un postulat, soit par un théorème. 
J'ai critiqué ailleurs ? et la définition et l’axiome ou postulat. 
Pour moi, la proposition que la ligne droite est le plus court 
chemin a toujours été bel et bien un théorème à démontrer. 
Mais il s’en faut que les démonstrations que nous en avons 
soient satisfaisantes. 
4 Ceux qui prendront la peine de lire mes Proléyomènes (pp. 225 et suiv.) 
verront que j'ai changé quelque peu d’avis, et que je suis moins disposé 
aujourd’hui à combattre Leibnitz qu'à adopter sa manière de voir. 
2? Prolégomènes, pp. 182 et suiv. 
