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N'en prenons qu'une, celle qu’on trouve dans Roucaé-ComBe- 
ROUSSE et imitée d'Eucune (1, 18-21), et voyons par quelle longue 
série de déductions passent ces auteurs pour arriver à établir, 
non pas que la ligne droite est la plus courte de toutes les lignes 
dans l'espace, mais uniquement qu'elle est plus courte que toute 
ligne brisée plane ayant les mêmes extrémités — proposition bien 
trop restreinte et qu’ils ne songent pas à étendre par la suite. 
Je reproduis la démonstration à partir de la proposition 34. 
« Théor. 34. — Si un triangle a deux côtés inégaux, l'angle 
opposé au plus grand de ces deux côtés est plus grand que l'angle 
opposé à l'autre. 
» Soit (ig. 45) le triangle ABC, dans lequel on a AC AB; il 
faut démontrer que l'angle ABC est plus grand que l'angle ACB. 
Prenons AD — AB, et menons la droite BDK; le triangle ABD 
étant isocêle, l'angle ABD est égal à l'angle ADB ou à son opposé 
par le sommet KDC ; l'angle KDC est donc moindre que ABC. 
» Joignons le point B au milieu I de DC, prolongeons BI d'une 
longueur IE égale à BI et tirons la droite DE; les triangles DIE, 
BIC ont un angle égal DIE — BIC compris entre deux côtés 
égaux DI — IC; EI — IB; ils sont done égaux et l'angle EDI 
est égal à l'angle ICB ; mais d'après la construction, le point £ 
est situé dans l’angle KDC; donc l'angle KDC est plus grand que 
EDI ou que son égal ACB. 
» Donc enfin, l'angle KDC étant supérieur à ACB et inférieur 
à ABC, il faut que l'angle ACB soit moindre que l'angle ABC. » 
Voilà sans doute — et au début de la géométrie — une 
démonstration bien laborieuse et bien artificielle. Elle nous fait 
adinirer la sagacité ingénieuse du géomètre, mais elle ne se 
grave pas facilement dans la mémoire. Elle exige trois lignes 
droites auxiliaires; elle s'appuie sur une propriété du triangle 
