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isocèle démontrée tellement quellement (voir 127, observation), 
et sur un cas d'égalité des triangles; elle introduit enfin d'une 
manière détournée une parallèle DE, qui, tracée franchement si 
on l'avait pu, raccourcissait le raisonnement de plus de moitié. 
Il n'y a pas une des propositions intermédiaires, par exemple 
que le point E est situé dans l’angle KDC, qui, au premier abord, 
n'apparaisse comme plus douteuse que celle à laquelle on veut 
aboutir, à savoir que la ligne droite est le plus court chemin 
d’un point à un autre; car à quel signe reconnait-on qu’un point 
est situé dans un angle? 
Et pourtant ce n’est pas tout. Il faut encore passer par la réci- 
proque (prop. 35); puis par le théorème 56 et son corollaire 37, 
que « dans un triangle un côté est plus petit que la somme des 
deux autres, et plus grand que leur différence », proposition en 
elle-même moins évidente encore que celle que l’on a en vue, à 
savoir que la ligne droite est plus courte qu'une ligne brisée 
ayant les mêmes extrémités. En effet la plus simple des lignes 
brisées est formée par les deux côtés d'un triangle. N'est-ce pas 
le cas de rappeler ce principe que toute démonstration compli- 
quée d'une proposition simple est mauvaise? Certes, il faut 
parfois s'y résigner, mais toujours avec l'arrière-pensée de la 
remplacer, quand on le pourra, par une plus simple. 
Conclusion : l'ordre rationnel des propositions est : 1° la ligne 
droite est le plus court chemin d'un point à un autre; 2° un côté 
d'un triangle est plus court que la somme des deux autres; 
3° en corollaire, la ligne droite est plus courte qu'une ligne bri- 
sée quelconque ayant les mêmes extrémités; 4° dans un triangle, 
un plus grand angle est opposé à un plus grand côté. 
C’est précisément ce que nous allons faire. Une remarque 
encore. La proposition 1° a besoin d'être complétée par le scolie, 
— pour nous servir du langage d'autrefois, — que toute ligne 
courbe peut être considérée comme une ligne brisée à côtés 
infiniment petits. Nous nous bornons à le rappeler. Ce scolie 
peut venir après le 5°, ou même plus tard encore. Il suffit alors 
de le mettre en rapport avec la proposition 1°. 
