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Lemme. — Entre deux points d'un plan, on peut tracer plu- 
sieurs chemins de différentes longueurs. 
Soit une droite AB (fig. 46) entre deux points A et B d’un 
plan; on peut sur cette droite construire un 
triangle équilatéral ABC, en inclinant sur AB, 
aux points À et B, en sens contraires, deux 
angles de + de droit. Le chemin ACB a deux 
fois la longueur du chemin AB. 
On peut allonger ce chemin par le même 
procédé en construisant sur AC un nouveau 
triangle équilatéral, et ainsi de suite. 
On peut aussi le raccourcir. Soient M et N les deux points 
milieux de AC et de BC; le triangle MNC est équilatéral, et par 
conséquent, le chemin AMNB est plus court que ACB et plus 
long que AB, de tout le chemin MC — ; AC. 
De même, si S et T sont les milieux de AM et de BN, le chemin 
ASTB est plus court que le chemin AMNB, et plus long que le 
chemin AB du chemin AS — : AM — : AC, et ainsi de suite. 
La question se présente donc de savoir si entre deux points 
d'un plan il y a un plus court chemin et comment il est. 
Fig. 46. 
445. Théor. — De toutes les lignes qui peuvent relier deux 
points d’un plan, la ligne de moindre longueur (autrement la 
plus courte) est la portion de droite tracée entre ces deux points. 
Dém. — Soit (fig. 47) la ligne AMNB la plus courte entre 
À M N B 
Fig. 41. 
A et B. Une portion quelconque MN de cette ligne est nécessai- 
rement aussi la plus courte des lignes menées entre M et N. Or, 
vu que le plan ! est une surface homogène, la portion MN ne 
peut différer de AB qu'en longueur, elle lui est donc semblable. 
Cette portion ayant été choisie quelconque, la ligne AB est donc 
indéfiniment décomposable en portions semblables; c'est donc 
1 On pourrait dire l’espace; le théorème est donc valable pour l’espace. 
on mi 
