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#49. Théor. — Inversement, dans tout triangle, au plus 
grand côté est opposé le plus grand angle. 
Dém. par l'absurde. — Car si au plus grand côté était opposé un 
angle À égal à B ou moins grand que B, on aurait B — ou < A ; 
ce qui est contraire à l'hypothèse. 
150. Théor. — De toutes les lignes que l’on peut mener d’un 
point à une droite, la plus courte est la perpendiculaire abaissée 
de ce point sur la droite. 
Dém. — Soit X une droite (fig. 51), O un point d’où l’on a 
abaissé OA perpendiculaire et OB oblique à la 
droite; OA est moins grand que OB, en tant 
quopposé à l'angle OBA, moins grand que 
l'angle OAX, qui est droit (131, cor. 2), 
Scolie et déf. — La longueur de la perpen- 
diculaire abaissée d’un point sur une droite est 
prise pour mesure de la distance de ce point 
à la droite. 
(a) 
X (ë 
Fig. 51. 
4514. Théor. — De deux obliques menées d’un même point 
à une droite, la plus courte est celle dont le pied est le plus 
rapproché de la perpendiculaire. 
Dém. — L’angle OBC obtus (même fig.) est plus grand que 
l'angle OCB aigu, et par conséquent, dans le triangle OBC, le 
côté OB est moins grand que le côté OC. 
452. Théor. — Les portions de parallèles comprises entre 
parallèles sont égales. 
Dém. — Soient (fig. 52) deux parallèles X et Y; et soient MN 
et PQ deux portions de parallèles com- 
prises entre elles; je dis que ces deux 
portions sont égales. En effet, tirons MQ; 
les deux triangles ainsi formés MNQ et 
MPQ sont égaux comme ayant un côté 
égal MQ adjacent à des angles égaux 
chacun à chacun, à savoir PMQ = MQN et MQP = NMQ, qui 
sont alternes internes ; donc MN — PQ. 
Les V 
Fig. 52. 
