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J'ai fait voir ensuite que les géomêtres qui ont voulu dépouiller 
l'espace géométrique de son caractère homogène, en lui sub- 
stituant l'isogénéité, n’ont pas renversé la géométrie euclidienne, 
mais en ont tiré des conséquences généralisées ensuite au moyen 
d'un artifice de langage. Dans les espaces méteuclidiens, la forme 
des figures dépend de leurs dimensions, et les nouveaux géomè- 
tres n'ont fait qu'étendre aux espaces qu'ils ont conçus, les pro- 
priétés de certaines surfaces euclidiennes, la sphère et la pseudo- 
sphère. De cette facon, leurs géométries ne sont n1 plus vraies 
ni plus fausses que la géométrie traditionnelle; elles trouvent 
dans cette dernière leur garantie, et au fond, c'est elle qui leur 
sert de fondement. 
Enfin, j'ai montré comment avait pu germer dans la tête 
des géomètres la conception de géométries autres que celle 
d'Euclide. C’est que celle-ci s'appuie sur des postulats, postulats 
de la droite, du plan, des parallèles, ce dernier célèbre surtout 
par la stérilité des efforts faits pendant plus de deux mille ans 
pour le démontrer. Ils ont alors imaginé de se passer de ce pos- 
tulat, et de créer des espaces où il n’y a pas de parallèles, et, par 
la même occasion, où il n'y a pas de plans, pas de droites. Ils 
conservent bien les noms de ces choses, mais en les détournant 
du sens qu'on leur donne d'habitude. Ils ont pensé que par là 
ils fondaient une science exempte de reproche, et qu'en même 
temps ils dissuadaient à tout jamais les chercheurs de poursuivre 
la solution des postulats. En quoi ils se sont trompés. Certes, 
dans leurs géométries, il n'est plus question du postulatum 
d'Euclide sur les parallèles, puisqu'elles écartent les vraies paral- 
lèles auxquelles il s'applique ; seulement, quant aux postulats de 
la droite et du plan, moins célèbres sans doute, mais tout aussi 
importants, elles les adoptent clandestinement — sous d’autres 
habits — voilà tout. 
Ces études appelaient un complément naturel et nécessaire. 
Les métagéomètres ont avancé qu'il y avait trois géométries 
possibles : les géométries aparallèle, polyparallèle, monoparallèle 
ou encore les géométries où les trois angles d’un triangle font 
plus que deux droits, moins que deux droits, exactement deux 
