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droits ; ils les mettent toutes trois sur le même pied, vu que, 
disent-ils, elles postulent chacune des propositions du même 
ordre et équivalentes; le postulatum d'Euclide n'a done en soi 
rien de plus rationnel, de plus évident, de plus a priori que les 
postulats contraires. Cette assertion ne pouvait être réfutée victo- 
rieusement que d’une seule manière. Il fallait faire voir que le 
postulat d'Euclide était démontrable, et mieux encore, qu il était 
une de ces propositions qui, en soi, n’a pas un caractère spé- 
cial, la différenciant des théorèmes du même ordre. 
C'est ce qui a été fait. Le présent travail a eu pour butet pour 
résultat de réédifier sur une base rationnelle — ou, si l’on aime 
mieux, plus rationnelle — la géométrie d'Euclide. Cette base 
rationnelle, c’est la proposition fondamentale qui postule le carac- 
tère hypothétique de l’espace géométrique, l'homogénéité; c'est 
l'affirmation que, dans cet espace, la forme des figures est inde- 
pendante de leur grandeur. L'espace ainsi défini, privé d'une 
dimension, devient le: plan; privé de deux, la droite. La plus 
simple des figures que comporte la droite est la portion de 
droite et, par conséquent, toutes les portions de droites sont 
semblables — première proposition sur la similitude. Le plan 
admet des figures planes et, par conséquent, des figures reeti- 
lignes semblables, d’où il est facile de passer ensuite aux figures 
curvilignes. En dernier lieu, de même que la géométrie de la 
droite conduit à la géométrie du plan, de même celle-ci conduit 
à la géométrie spatiale. 
La géométrie euclidienne ainsi atfermie, les gÉomAE, méteu- 
clidiennes ne sont pas ébranlées, au contraire. Il n’y a que cer- 
taines de leurs prétentions qui sont rabattues. 
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