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I. Les perpendiculaires élevées en B, C sur la base BC ren- 
contrent en D, E la tangente B,C, ; joignons O, à D et E. 
Le triangle O,DE est inversement semblable à ABC, et les 
côtés O,D, OLE sont parallèles à AC, AB. En effet, les quadri- 
latères inscriptibles ADBO,, AECO, donnent : 
angle ODA = CBA = CAE, angle O,EA — BCA — BAD. 
La circonférence circonscrite au triangle O,DE touche BC ; 
car angle DO,B — ACB — DEO.. 
AH,, AO, sont des lignes homologues, et l’angle H,AO, 
— B — C; par suite le rapport de similitude des triangles ABC, 
O,DE est égal à cos (B — C). Le point d'intersection L, des 
droites BC, DE divisant les côtés homologues BC, DE dans le 
même rapport, L, est le point double, et les droites doubles sont 
les bissectrices de l’angle BL,D et de son supplémentaire adjacent; 
ces droites sont perpendiculaires aux bissectrices de l’angle BAC 
et de son supplémentaire adjacent. 
Soit H, l'orthocentre de O,DE; comme 
AH = 20M, — 200, cos(B — C), 
on a H,0, — 200,. Donc, l’orthocentre de O,DE est le symé- 
trique de O, par rapport à O, et la droite H,P, est perpendi- 
culaire à BC. 
II. On sait que les droites AP,, BP;, CP; concourent en 
un point P qui est le conjugué isotomique de ©. 
Soit S, l'intersection des droites BE, CD : {es droites AS,, AP, 
sont isogonales par rapport à l’angle BAC. En effet, si l’on mène 
DQ perpendiculaire à AC, on trouve facilement 
Ë c sin C 
BD — 0,D sin C = ————. 
cos (B — C) 
DQ AD sin BE ccos B Bb 
= IRD 
ù cos(B—C) 
