(Ce) 
Les sommets A;, B;, C; sont situés sur les hauteurs de ABC; 
car la bissectrice C;H du triangle isocèle B,C;A est perpendi- 
culaire au milieu de la base B,A,. On peut aussi dire que H est 
le point double des triangles homothétiques A;B;C;, H,HH;. 
V. Soit V, le point d’intersection des droites Q,C, R,B, 
et soient U, U’ les points de rencontre de la droite AV, avec 
BC, Q,R:. 
Si, dans chacun des triangles AQ,R,, ABC, on considère les 
droites concourantes AV,, Q,C, R,B issues des sommets, on 
trouve 
DONC BECUR 0 
Ur) 
LR c: Loc 
Il résulte de là que La droite AV, et les analogues BV, CV; 
concourent en un même point V qui est le conjugué isotomique 
du point de Lemoïine. Ce point, appelé par Casey troisième point 
de Brocard, est le centre d’homologie de ABC et du premier 
triangle de Brocard. 
VI. Soient Q,, R, les points de rencontre de C;A; avec 
BC, BA, et O;, R; ceux de A;,B; avec CA, CB. L’hexagone 
Q,R,QR OR; pou de propriétés remarquables : 
L' expression + — trouvée ci-dessus pour la longueur CR, permet 
d'écrire, par alone, 
On en conclut que les triangles AQ;R,, R;:BQ,, Q,CR, sont 
inversement semblables à ABC. Par suite, les droites Q,R,, 
QiR;, @R, sont antiparallèles aux côtés BC, -CA, AB par rap- 
port aux angles BAC, CBA, ACB. De là ces propositions : 
1° Les côtés opposés de l'hexagone Q,R,QR,Q;R; sont paral- 
lèles; 2° les diagonales Q:R;, Q\R;, QR, sont les bissectrices des 
angles; 5° la distance de deux côtés opposés est constante. 
