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On déduit de cette formule 
7 » 
4 (+ F-— 2ap cos ?) p(L a + 6° — 928 cos ) sin *’ydp 
dy — À 
95° Il (+) [nf - 
FASO 0 (xB)-" J’(œ) (8), 
et pour Ê = z,, 
T En 
f (a + 23 — 2e, cos #) HJ'(V/2 + 23— 222, c05 9 )sin® pdp — 0. 
0 
Il en résulte que la fonction z"J”(z) s'annule au moins 
pour une valeur de z comprise entre a — 7, et a+z, Donc : 
Dans tout intervalle positif, dont l'étendue est le double de la 
plus petite racine positive d’une fonction de Bessel de première 
espèce, à indice non négatif, il se trouve au moins une racine de 
celte même fonction (*). 
En combinant cette propriété avec les précédentes, on voit 
que : Une fonction de Bessel de première espèce dont l'indice m 
n’est pas négatif, a au moins une racine dans tout intervalle 
positif d'étendue [(m —?) + 3]x. 
La fonction J'(z) s’annule au moins une fois dans tout intervalle 
positif d'étendue 20.540 … 
La fonction J°(z) a au moins une racine dans tout intervalle 
positif d'étendue 25.516... 
(*) Pour » —0, cette propriété a été obtenue par M. Maxime Bôcher au. 
moyen du théorème d’addition de C. Neumann pour la fonction J(z) (Bôcæer, 
An elementary proof that Bessel’s functions of the zeroth order have an infi- 
nite number of real roots. — BuLL. oF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, 
vol. V). 
