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Il découle immédiatement de la génération indiquée de la 
quartique que « deux points de la courbe alignés avec le point 
double d’inflexion sont séparés harmoniquement de ce dernier 
par la droite qui joint les deux autres points doubles », et que 
les tangentes en deux points alignés avec le point double 
d’inflexion vont se couper sur la droite qui joint les deux autres 
points doubles; on peut réunir ces deux théorèmes connus (*) en 
l'énoncé unique : « Une quartique rationnelle ayant trois points 
doubles, dont l’un est d’inflexion, est homologique harmonique 
lorsque l’on prend le point double d'inflexion pour centre et la 
droite qui joint les deux autres points doubles pour axe d'homo- 
logie. » 
Réciproquement, étant donnée une courbe du quatrième 
ordre et de la sixième classe C$ ayant un seul de ses trois points 
doubles d’inflexion, si C2? est une conique inscrite dans l'angle 
des langentes au point double d'inflexion Y, et passant par 
les points de contact O,, O, des tangentes menées à Cf par l’un 
des autres points doubles, par exemple de O : la transformée de 
C? est Ci lorsque l’on prend | 0,0,| = 5 pour axe, Y pour pre- 
mier pôle et O pour deuxième pôle. En effet, Cj et cette trans- 
formée ont en commun le point double Y avee les mêmes 
tangentes d'inflexion, le point double O avec les mêmes tan- 
gentes et les deux points simples O,, O, aussi avec les mêmes tan- 
gentes, ce qui équivaut à dix-huit (8 + 6 + 4) points communs. 
5. Le cas où le deuxième pôle et l'axe sont pôle et polaire 
par rapport à C? doit être considéré à part : en ce cas, le troi- 
d'inflexion en Z est hy + bx — 0; cela posé, nous avons identiquement 
[(ay? + 2hxy + ba?) 22 + cd? y?] — æ3° (hy + br) = y [(az? + cx?) y + hxz°] 
et le théorème cest démontré. L'absence du terme linéaire en z dans l’équa- 
tion de la quartique montre immédiatement que la couche cst homologique- 
harmonique, x — y — 0 étant le centre et z = 0 l'axe d’homologie. 
(*) Ameseoer, Üeber ralionale Curven vierter Ordnung, deren Doppel- 
punkistangenten zum Theil oder ganz in Inflexionstangenten übergehen. 
(Sirzeer. DER W. Ak., Bd 79.) 
