INTRODUCTION 
Chacun sait qu'en Géométrie la théorie des parallèles est 
jusqu'à présent demeurée imparfaite. L'inanité des efforts tentés 
depuis l'époque d’Euclide, dans le cours de deux mille ans, m'a 
conduit à soupçonner que la vérité à établir n’était pas impliquée 
dans les notions antérieures et que, pour la démontrer, il fallait, 
ainsi que cela a lieu pour d’autres lois de la nature, recourir 
à des expériences, par exemple aux observations astronomiques. 
Convaineu enfin de la justesse de mes conjectures et jugeant cette 
question difficile ainsi résolue, j'écrivis en 1826 un travail sur ce 
sujet (*). La nouvelle théorie est également appliquée à l'analyse 
dans des articles insérés en 1829 et 1830 dans le Kazansky 
Viéstnik, sous l'intitulé : Des principes de la Géométrie. Le résultat 
principal auquel j’aboutis en supposant que les lignes dépendent 
des angles, autorise la possibilité de l'existence d’une géométrie 
dans un sens plus étendu que celui d'Euclide. Je donnai le 
nom de Géométrie Imaginaire à la science ainsi élargie où entre 
comme cas particulier la Géométrie Usuelle, lorsqu'on intro- 
duit dans l'hypothèse générale les restrictions exigées par les 
mesures. Dans un travail qui fut récemment imprimé dans les 
(‘) Exposition succincte des principes de la Géométrie, avec une démonstra- 
tion rigoureuse du théorème des parallèles ; ce travail a été lu à la séance de 
la Section physico-mathématique près l'Université de Kazan, le 12 fé- 
vrier 1846, mais il n’a été imprimé nulle part. 
