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Mémoires scientifiques de l’Université de Kazan (*), j'entrepris 
de montrer que les nouveaux principes suffisaient. A cette époque, 
désirant atteindre ce but, non pas tant directement, mais plutôt par 
la voie inverse qui est la plus courte, j'ai préféré aller de certains 
principes admis aux équations pour toutes les relations et aux ex- 
pressions de toutes les grandeurs géométriques. Si ma découverte 
ne procurait d'autre avantage que de corriger un défaut dans l’en- 
seignement des premiers principes, la seule attention que cet objet 
a constamment méritée m'obligerait déjà à en faire l’exposé en 
détail. Je commencerai par l'analyse des théories antérieures. 
Il est facile de prouver que deux droites faisant un même 
angle avec une troisième ne se rencontrent jamais puisqu'elles 
sont alors perpendiculaires sur une même droite. Euclide 
a supposé inversement que deux lignes inégalement inclinées 
sur une troisième, doivent toujours se couper. Pour s'assurer de 
la vérité de cette proposition, on a recouru à différents moyens: 
tantôt on s’est efforcé de déterminer d’abord la somme des angles 
d’un triangle, tantôt on a comparé des surfaces planes infinies 
comprises dans l'ouverture des angles et entre des perpendi- 
culaires, tantôt on a admis que les angles ne dépendaient que 
desrapports des côtés, enfin, on a complété la définition de la 
ligne droite par de nouvelles propriétés. De ces démonstrations, 
quelques-unes, sans doute, sont ingénieuses, mais toutes, sans 
exception, sont fausses, leurs points de départ sont insuffisants et 
elles manquent de la rigueur qu'on exige d’un raisonnement; on 
n’en trouve même aucune qui, étant simple et convaincante, puisse 
convenir à des commençants. 
Legendre publia en 1800 la troisième édition de sa Géomé- 
trie où il insérait la proposition, que la somme des angles d’un 
(*) Fascicule 1er des Mémoires scientifiques de 1855, sous le titre : Géo- 
métrie Imaginaire. 
