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triangle ne peut ‘dépasser x, c’est-à-dire deux droits. Il y démon- 
trait également que cette somme ne doit pas être € T; seulement, 
il perdait de vue que les lignes peuvent ne plus former un 
triangle précisément au moment où la valeur de la somme, 
déduite par une autre méthode, présente quelque contradiction. 
Je ne crois pas nécessaire de m'étendre ici sur cette faute; 
Legendre lui-même l’a reconnue plus tard en déclarant que, si 
les principes admis par lui comme point de départ ne souffraient 
pas de doute, il rencontrait cependant des difficultés qu'il n’était 
pas en état de vaincre (*). Dans les Mémoires de l’Académie de 
France de 1835, il ajoute encore la proposition, que la somme 
des angles est égale à x dans tous les triangles si elle a cette valeur 
dans un seul. Il m'a fallu prouver aussi la même chose dans 
ma théorie écrite en 1826. Je trouve même que Legendre est 
parfois tombé sur la voie que j'ai si heureusement suivie; mais 
sans doute un préjugé en faveur de la proposition universelle- 
ment admise l’a-t-il, à chaque pas, porté à conclure hâtivement 
ou à introduire prématurément des notions qu'il ne fallait plus 
admettre dans la nouvelle hypothèse. Examinons tout ce qu'il a 
imprimé en 18353 sur cet objet dans les Mémoires de l’Aca- 
démie de France. 
Dans le triangle ABC (fig. 1), tirons de À par le milieu I du 
côté BC, la ligne AC’ — AB; prolongeons AB jusqu’à ce qu’on 
ait AB’ — 2A1I. On a le triangle AB/C', où B'C' — AC et où la 
somme S des angles est la même que dans le premier triangle 
ABC : l’angle CAB a passé dans le triangle AB’C' en se divisant 
en deux aux points À, B’. Si en outre AB est le plus grand côté 
(") Voici les propres paroles de Legendre : « Nous devons avouer que cette 
seconde proposition, quoique le principe de la démonstration fût bien connu, 
nous a présenté des difficultés que nous n’avons pu entièrement résoudre » 
(Mémoires de l Académie des sciences de l’Institut de France, t. XII, 1835, 
p. 371). 
