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ou non moindre que les deux autres côtés du triangle ABC, et si 
BC est < AC, alors AC est 2 C'B’, l'angle opposé à B’C’ dans le 
triangle AB'C’ est au moins deux fois plus petit que l'angle CAB. 
En continuant ainsi, nous pouvons arriver à un triangle dont 
deux angles soient aussi petits que l'on veut; la somme des 
angles sera la même que dans le premier triangle ABC. Legendre 
pensait en conclure que, avec la diminution des deux angles, 
les deux côtés opposés se rapprochent de plus en plus du 
troisième, et que l'angle restant finit par arriver à deux droits; 
que, par suite, dans le triangle primitif, S = x, et qu'il en est 
de même dans tout triangle (*). Seulement le raisonnement est 
faux, parce que les côtés du triangle croissent à l'infini et que 
nous pouvons supposer que la limite dont s'approche l'angle 
AC'B’ <S est inférieure à tr. Appelons A, B, C les angles du 
triangle ABC, aux points désignés par ces lettres ; appelons encore 
A',B', C' les angles de AB'C aux points A, B’, C'; enfin soit h 
la perpendiculaire abaissée de C’ sur AB’. D'après la méthode 
de la Géométrie Imaginaire, dans l’hypothèseS < t, noustrouvons: 
é sin C 
COLA — CO A 
sin À sin B 
à sin B 
cot BR — cot À + —————; 
sin À sin C 
4 1 1 1 1 à 
Ca V/c05 25 cos [25 —a)c0s —S — B eosfs— 0) } 
sin C 2 2 2 2 
e désignant la base des logarithmes népériens. 
D'après les deux premières équations, on voit que A’, B' sont 
toujours possibles et qu'avec la transformation des triangles ils 
(‘) Réflexions sur la théorie des parallèles (MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE DES 
sciences, t. XII, pp. 390 et suiv.). 
(‘*) Dans une note, M. Engel fait remarquer que A, B, C doivent être 
remplacés par A’ B’ C’. (F. M.) 
