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diminuent jusqu'à zéro. La dernière équation donne chaque fois 
la hauteur À et détermine la limite de l'approchement 
1 
h=— log cot=S, 
( EE 
où l’on prend le logarithme de Néper. 
Bien que Legendre ait dit sa preuve parfaitement rigoureuse, 
lui-même en pensait sans doute autrement, car il ajoutait que 
les diflicultés, s’il s'en rencontrait, pourraient pourtant être 
écartées. Dans ce but, il recourt à des calculs fondés au surplus 
sur les premières équations de la Trigonométrie rectiligne qu'il 
aurait d'abord fallu établir et qui, dans ce cas, ne servent à rien 
et ne conduisent à aueune conclusion. 
Désirant tout dire pour confirmer sa proposition, Legendre 
remarque que des triangles égaux, emboiïtés partout par leurs 
angles inégaux, trois angles se trouvant en un point, présentent 
une zone que l'on peut prolonger à l'infini et qui est limitée par 
deux lignes brisées : concaves l’une vers l’autre si S est < 7, 
 convexes si S est > 7. Or, l'impossibilité démontrée du second 
cas oblige à rejeter le premier où les lignes, comme deux ares de 
cercle inclinés l’un vers l’autre, doivent nécessairement se couper. 
Il ne semble pas nécessaire d'examiner et d'apprécier longuement 
pareil raisonnement où il n'y a pas l'ombre de démonstration 
rigoureuse. Disons en outre que des lignes qui tournent leur 
concavité l’une vers l’autre ne s’approchent que suivant la con- 
ception reçue dans la Géométrie Usuelle, alors qu'avec l’hypo- 
thèse S < 7, rien n'empêche d'admettre qu’elles se prolongent 
en gardant une distance. 
Bertrand et Legendre, à son exemple, ont voulu comparer des 
aires infinies comprises dans des angles, entre des perpendi- 
culaires. Avant de faire des démonstrations de ce genre, on devrait 
préciser la notion de grandeur; on ne peut la comprendre en Géo- 
