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métrie que par la mesure, et il faudrait dire d’abord à quel signe 
on distingue le plus grand du plus petit. Par exemple, une aire 
limitée par une ligne courbe est dite plus grande que le polygone 
qui y est entièrement compris; plus petite, quand au contraire 
toute l’aire est enfermée dans le polygone — même lorsque le 
moyen de mesurer cette aire n'est pas encore connu. S'il s’agit 
d’aires illimitées, ici, comme partout en mathématiques, il faut 
prendre pour le rapport de deux nombres infiniment grands, la 
limite vers laquelle tend ce rapport lorsque le numérateur et le 
dénominateur de la fraction croissent sans cesse. En outre, il 
faut entendre par grandeur géométrique, celle que l’on peut au 
moins déterminer approximativement, à en juger par des indices 
d'inégalité. Sous ce rapport, la preuve de Bertrand, comme 
toutes celles de ce genre, est loin de satisfaire à nos exigences, 
parce que nous n'y voyons même pas le moyen de mesurer les 
aires, sans compter que ces aires doivent être préalablement 
limitées et doivent, par le recul de leurs limites, croitre à l'infini. 
Soit à comparer (fig. 2) l'aire X, à l'ouverture de l'angle 
DCE, et l’aire Y qui s'étend à partir de la ligne AC = a entre 
deux perpendiculaires AB, CD menées sur AC. Le rapport des 
deux aires X, Ÿ variera, bien qu’elles croissent à l'infini, suivant 
la facon dont nous serons convenus de les limiter au début. 
Supposons, par exemple, que, dans tout triangle, la somme des 
angles S = tr. Faisons AB — CD — na, où n est entier; ensuite, 
menons la droite DB et limitons l'aire à l'ouverture de l’an- 
gle DCE par un arc de cercle, décrit du centre C avec un 
rayon CD — na. Nous obtenons 
Y — na, X — à Ta ; 
h 
d’où 
