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où le nombre e > 1 ne dépend pas de n, et par conséquent, pour 
n—=©, 
2 T et + 1 
V9 à =) 
=== — arc sin | ———— |; 
celte quantité ne sera pas nulle tant que a restera > o et ne 
pourra être négligée que pour une grandeur excessivement petite 
de a. 
D'un autre côté, il n’est pas difficile de se convaincre que le 
rapport Ÿ : X ne doit pas être tenu pour nul pour X = , si 
l’on admet l'hypothèse S <7x. Soient AB, CD perpendiculaires 
sur AC (fig. 3); prenons à volonté AB = CD. Dans l'hypothèse 
S 7, les angles ABD, CDB sontaigus, les perpendiculaires BB”, 
DD” sur BD s’inclinent à l’intérieur de la surface plane B'BDD” 
sans se rencontrer l’une l’autre, et elles forment avec BB’, DD'les 
angles B'BB”, D'DD” dont les surfaces infinies sont moindres 
que la surface infinie B'ACD”, contrairement à ce que Bertrand 
voulait affirmer de tous les angles sans exception. 
Bertrand donne une autre forme à sa démonstration en con- 
sidérant des surfaces infinies comprises dans des angles. Dans le 
triangle ABC (fig. 4), appelons A, B, C les angles opposés aux 
côtés a, b, c que nous prolongeons : AC au delà de À jusqu’en A”, 
AB au delà de B jusqu'en B”, BC au delà de C jusqu'en C’. Entre 
les côtés des angles extérieurs T — A, x — B, T7 — C, les aires 
X + x, Ÿ + y, Z, s'étendant sans limite, conslituent le plan qui 
se répartit autour du point C de tous les côtés, à l’exception de 
l’aire ABC que l’on peut négliger à cause de sa petitesse; done 
r—A+r—B+r—C—972x7r, d'où À + B+C— 7. 
Examinons ce raisonnement en limitant d'abord les plans par 
des ares de cercle de rayon CC'=r en prenant les points A, B, 
C pour centres. La circonférence autour de C peut couper les 
côtés de l'angle x — A, en A’, B’ de façon à partager la surface 
