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entre les eôtés de x — À en deux parties : l’une X à l'intérieur, 
l’autre x à l'extérieur du cerele dont C est le centre. Les côtés 
de l'angle rx — B peuvent être coupés par le même cercle 
en B', C' de façon à partager la surface entre les côtés de 7 — B 
en deux parties, Ÿ à l'intérieur et y à l'extérieur du cercle, 
mais la partie z du cercle n'appartiendra pas à l'angle x — B. 
On a ainsi tous les cas que peut présenter la figure en supposant 
r>a,r>b,r>c, a>c. En désignant par A l'aire du triangle ABC, 
par R la surface du cercle ayant r pour rayon, nous obtenons 
R=X+Y+Z+z+A. 
De là, nous tirons 
(1) A+B+C—r+ FlA—2—y +02) 
Il resterait à montrer maintenant qu'on a À —x + y — z dans 
_ l'hypothèse où la somme des angles du triangle S est < x pour 
toute valeur de > ou au moins pour r =. Mais on ferait en 
vain ce travail. Au contraire, avec la condition S< 7, nous trou- 
vons constamment À < x + y — z, comme nous allons le voir. 
Lorsque CC’ = r croît, les points B', B", B'” s'éloignent du 
point B dans la direction AB et les lignes CB’, CB”, CB” se 
rapprochent d’une certaine limite CD (fig. 5) que, dans la nou- 
velle théorie, j'ai appelée une parallèle à AB et qui fait avec CD, 
CB les angles 
ACD — 7 — À — x, BCD = B — £, 
« et P étant des nombres positifs quelconques. On peut toujours 
prendre pour CB’ — 7 une ligne assez grande pour que les 
angles B'CD, B"CD, B'"CD deviennent aussi petits que l’on 
