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Dans mes Principes de la Géométrie, profitant d'observations 
‘ astronomiques, J'ai montré que dans un triangle dont les côtés 
sont à peu près égaux à la distance de la terre au soleil, la 
somme des angles ne peut différer de deux droits de plus de 
0,0003 de seconde. Cette différence croît en proportion géomé- 
trique avec les côtés du triangle et, par suite, jusqu’à présent, 
la géométrie usuelle, comme je l’ai remarqué plus haut, est plus 
que suffisante dans les mesures de la pratique. On peut encore 
arriver à cette conclusion à l’aide d'hypothèses assez simples en 
n'employant que les éléments; mais la théorie complète exige 
que l’on change complètement l'ordre adopté dans l'enseigne- 
ment, et qu'on ajoute la trigonométrie. 
La définition même du parallélisme n'est pas le moindre défaut 
de la théorie des parallèles. Seulement, cela ne provient aucune- 
ment, comme le supposait Legendre, d'une imperfection dans la 
définition de la droite, ni même, ajouterai-je, de ces défauts qui 
se cachent dans les premiers concepts et que je veux ici 
indiquer et, autant que je le pourrai, corriger. 
On commence d'habitude la Géométrie en disant que les corps 
ont trois dimensions, les surfaces deux, les lignes une; que le 
point n'en a pas. On nomme les trois dimensions longueur, 
largeur et hauteur, et, en réalité, l’on entend par là trois 
coordonnées; on n'arrive ainsi qu'à communiquer des idées 
prématurées par des mots auxquels la langue vulgaire prête 
déjà un certain sens, trop vague pour une science précise. 
Comment est-il possible en effet de se représenter clairement 
la mesure d'une longueur quand nous ne savons encore ce 
qu'est une ligne droite? Comment peut-on parler de largeur, 
de hauteur, si l'on n'a parlé d'abord des perpendiculaires et des 
surfaces planes etdit comment se comportent des perpendieulaires 
dans un ou plusieurs plans? Enfin, si le point n’a pas d’étendue, 
