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28. On peut considérer tout point extérieur au plan comme 
un pôle auquel correspond un autre point du côté opposé. 
Soient A, A’ deux pôles (fig. 51), B l'origine des cercles sur le 
plan correspondant, CDC'D' une des circonférences de ce plan, 
provenant de l’intersection des sphères égales ayant A, A’ pour 
centres. Prenons quelque part, en dehors du plan, un point E ; 
toutes les surfaces sphériques décrites autour de ce point devront 
couper le cercle CDC'D', dès qu'elles y entreront, en deux points 
C, C’. En permutant les pôles A, A’, de façon que le point C 
tombe en C, et par suite C’ en C, le point E viendra quelque 
part en E, d’où les distances égales EC = EC’ = E’C — E'C, 
tandis que le diamètre de la circonférence DBD' ne change pas 
de place. Imaginons autour de B une surface sphérique de rayon 
BD — BD’, et soient, pour celle-ci, À et A’ les pôles de la cir- 
conférence DCD’C'(n° 26) ; en faisant tourner cette sphère autour 
du diamètre DBD' ainsi que les sphères ayant E, E’ pour centres, 
les points communs à la première et à la dernière doivent par- 
courir les lignes d’intersection et se substituer l'un à l'autre. 
Après une demi-révolution des surfaces sphériques, chaque point 
situé sur la demi-circonférence DCFD' occupera la place corres- 
pondante F’ sur l’autre demi-circonférence DC'F'D', comme les 
anciens points C, C'; mais les points extrêmes D, D’ situés sur le 
diamètre ne changent pas de place. On en conclut nécessairement 
que tous les points de la circonférence CFCF' et les extrémités 
D, D’ du diamètre appartiennent à l'intersection de sphères 
égales ayant E, E’ pour centres; on peut donc considérer ces 
points comme pôles du plan primitif du cerele DCD'C. 
29. Tout point du plan peut être pris pour origine de circon- 
férences. 
Joignons par la droite AB (fig. 54) le point A du plan, pris à 
volonté, et l’origine B des circonférences. Au moyen du rayon 
arbitraire AC — AC’, imaginons autour de A la surface sphé- 
rique L qui rencontrera la droite BAC en C, C'. L’intersection des 
surfaces sphériques égales, ayant C et C’ pour centres, engendre 
un plan qui partage la première surface sphérique de centre À, 
