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CHAPITRE IV. 
LIGNES ET PLANS PERPENDICULAIRES. 
47. En un point donné d'une droite, on ne peut élever qu’une 
perpendiculaire à cette droite. 
Il va de soi que le prolongement de la perpendiculaire au 
delà du point de rencontre, est perpendiculaire à la même ligne 
du côté opposé; cela résulte de l'égalité des angles opposés au 
sommet (n° 41). Mais toute autre ligne, issue du même point 
que la perpendiculaire, fait d’un côté un angle aigu, de l’autre 
un angle obtus, et par suite ne peut être une seconde perpen- 
diculaire. 
48. D’un point donné, on ne peut abaisser qu’une seule per- 
pendiculaire sur une droites toute autre droile menée de ce point 
rencontre la droite donnée sous un angle aigu, du côté de la per- 
pendiculaire. 
Soit AB (fig. 43) une perpendiculaire abaissée de A sur BC; 
soit AC une droite menée du même point à un autre point de la 
ligne BC. Prolongeons AB de l'autre côté de BC, en prenant 
BA' — BA, et joignons par une droite les points A’ et C. En 
transportant les extrémités A, A’ à la place l’une de l’autre, le 
milieu B de la ligne AA’ restera immobile, de même que la 
ligne BC, car L ABC = L A'BC = 57 (n° 47). Nous en con- 
cluons que L ACB — L A'BC, et comme l'angle ACA' est plus 
petit que + (n° 49), l'angle ACB est aigu. 
Il suit de là que deux perpendiculaires à une ligne ne peuvent 
se couper. 
Si, de l’autre côté du point B, nous traçons le prolongement 
BC’ — BC, en faisant tourner le triangle ACA' autour du côté 
AA’, le point C vient en C', car L ABC = L. ABC'— QT. Ils'en- 
suit que les distances AC’, AC, A'C, A’C' sont égales ; par suite 
