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A et À’ sont des pôles de la droite CC’, et la droite qui joint deux 
pôles opposés d'une droite est perpendiculaire à celle-ci. 
49. Dans un triangle, on peut avoir un angle droit ou obtus, 
les deux autres sont alors aigus. 
Si, dans le triangle ABC (fig. 45), l'angle ABC est droit, nous 
venons de voir que l’angle ACB et, par suite, l'autre angle BAC 
doivent être aigus. 
Si l'angle ABC du triangle ABC (fig. 44) est obtus, l'angle 
extérieur ABD, formé par le prolongement de BC au delà de B est 
aigu. La perpendiculaire AD, abaissée de A sur BD, rencontre 
quelque part en D la ligne BD en dehors du triangle (n° 48). 
On forme ainsi un triangle rectangle ADC, ayant un angle droit 
en D et par suite un angle aigu en C. On prouve de même que 
l’autre angle CAB est aussi aigu. 
50. Dans un triangle isoscèle, les angles opposés aux côtés égaux 
sont égaux. Réciproquement, dans un triangle, aux angles égaux 
sont opposés des côtés égaux (fig. 45). 
[Démonstration par retournement du plan] (*). 
Dans un triangle isoscèle, les angles situés à la base sont aigus, 
car étant égaux ils ne peuvent être ni droits ni obtus (n° 49). 
51. Une droite qui rencontre une circonférence, ou bien la 
coupe en deux points, ou bien la touche en un seul point quand 
elle est perpendiculaire au diamètre. 
On entend parler ici d'une droite et d'une circonférence 
situées dans un même plan. 
Si la droite entre dans le cercle, elle doit en sortir, étant 
suffisamment prolongée (n° 25); elle ne peut couper la circon- 
férence une troisième fois, parce qu'une droite fait un angle aigu 
avec le rayon, à l'intérieur de la circonférence (n° 50); l'angle 
(*) Pour abréger, lorsque le texte de Lobatchévsky reproduit des choses 
connues, nous nous contentons d'un résumé mis entre crochets. (F. M.) 
