(64) 
Un triangle ne peut être déterminé autrement que par la 
rencontre de deux circonférences dont les centres se trouvent 
aux extrémités d'un côté et qui a pour rayons les deux autres 
côtés. Or, les cercles ne se coupent que dans le cas où la somme 
des rayons est plus grande que la distance des centres (n° 35). 
Nous pouvons établir cette proposition autrement. [Démonstra- 
tion d'Eueclide]. 
En général, un coté d'un polygone est plus petit que la somme 
des autres, €ar tout polygone s’engendre graduellement, en com- 
mençant par le triangle et en remplaçant un côté par deux 
autres, dont la somme est plus grande. 
On dit donc avec raison, dans ce sens, que la ligne droite 
mesure le plus court chemin entre deux points. 
56. On appelle perpendiculaire à un plan, la droite qui ren- 
contre le plan perpendiculairement à deux droites du plan. Elle 
est alors perpendiculaire à toutes les droites menées dans le plan 
par le point de rencontre. 
Cette propriété appartient à la droite qui joint les deux pôles 
d'un plan. Soient À et A’ les pôles (fig. 27), BDB'D' une cireon- 
férence génératrice du plan, ayant pour centre le point C, origine 
de toutes les circonférences. Quand les pôles À et A’ échangent 
leurs places, tout point E du cercle peut garder la sienne. On a 
donc : L ECA — LECA'—5 +. Par suite, toutes les lignes du 
plan, passant par C, seront perpendiculaires à la droite AA’. 
Maintenant, supposons, inversement, que la ligne AB (fig. 48) 
est perpendiculaire aux deux lignes distinctes BC et BD, 
et prolongeons AB au delà de B, de BA° — BA; prenons 
ensuite BC == BD, et joignons les extrémités C et D par des 
droites à A et A’; nous obtenons un ensemble de ligaes où 
AC — AD, A'C — A'D, car AACA” se superpose à AADA’, à 
cause de l'égalité des angles droits ABC, ABD et des lignes BC, 
BD. Une ligne de cette figure se substitue à une autre quand 
on permute les points À et A’, C et D; en effet, les plans des 
triangles ADA', ACA' tombent l’un sur l’autre; l'égalité de AB 
et de AB fait que le point B reste en place; par suite de l'égalité 
