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quent la surface du triangle ABC est la même que celle du qua- 
drilatère AFEC, dont les angles ont pour somme S + x. 
Si l’arc perpendiculaire CH, abaissé de C sur DE, tombe 
en dehors du triangle ABC (fig. 58), ici, comme dans le premier 
cas, les triangles AFD et DCH, BGE et ECH seront égaux, et la 
surface du quadrilatère AFEB est encore égale à celle du 
triangle ABC, auquel s'ajoute le triangle AFD, égal à la somme 
des deux triangles enlevés DCE, BGE. La somme des angles 
du quadrilatère ABGF est encore égale à S + x, car on ajoute 
l'angle FAD au lieu de la somme des deux angles ACB, GBC, et 
il faut encore compter les angles droits en F et G. 
En toute hypothèse donc, la surface du triangle ABC (fig. 56) 
est la même que celle du quadrilatère AFGC, limité par le 
côté AC < 7 du triangle ABC et les arcs perpendiculaires AF, CG 
abaissés de ses extrémités sur l’are mené par les milieux des 
deux autres côtés. La somme des angles de ce quadrilatère 
dépassera de deux droits la somme des angles du triangle. Il en 
résulte que la somme des angles et la surface demeurent les 
mêmes dans tous les triangles ayant une même base AC < 7, 
quand le sommet du troisième angle se trouve à la même 
distance de l'arc mené par le milieu des côtés de ce troisième 
angle. 
Dans le triangle donné ABC (fig. 59), menons l'arc DE par 
les milieux D, E des côtés AB, BC, et menons la circonfé- 
rence BF, parallèle à cet arc, jusqu’au point F où elle rencontre 
le côté AC, prolongé dans la même direction. L’are perpendicu- 
laire FG, abaissé de F sur le cercle DEG, sera égal à l'arc 
perpendiculaire au même arc, abaissé du point B (n° 66); par 
suite, la surface et La somme des angles du triangle ABC sont les 
mèmes que dans le triangle que nous obtenons en joignant, par 
des ares, le point F aux points A et C; remarquons que le 
premier de ces arcs doit passer par le milieu H de l'are KG 
compris entre les arcs perpendiculaires AK et FG. Ce dernier 
triangle se résout dans le fuseau AHFCA, puisque l'angle en C 
devient x. La somme des angles de ce fuseau est alors de S— +; 
le triangle a donc pour grandeur 3 (S— 7%). 
