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Soit encore S la somme des angles d’un triangle; mais nous 
supposons un côté plus grand qu'une demi-circonférence. En 
remplaçant ce côté par son complément pour faire une circon- 
férence entière, nous obtenons avec les deux autres côtés un 
nouveau triangle dont les angles ont pour somme 4x —S et dont 
la surface 3 (3x — S) doit faire x avec la surface du premier 
triangle. Nous avons de nouveau pour la surface du triangle 
donné; (S — 7%). 
On prouve habituellement cette proposition d’une autre 
manière. Soient A, B, C les angles du triangle sphérique ABC 
(fig. 60); nous prolongeons AB jusqu'à ce qu’il forme une circon- 
férence entière, et les deux autres côtés au delà du point com- 
mun C jusqu’à ce qu'ils rencontrent cette circonférence. Outre le 
triangle donné, que nous désignerons par la lettre L, nous en 
avons trois autres M, N, P; la somme L+M+N+P— 7x. 
D'autre part, L+P=C, L+M—A, L+N—B, de sorte que 
L—;(A+B+C— x). Cette démonstration a le défaut de 
parler de la grandeur des triangles en laissant indéterminé le 
moyen de la mesurer; de plus, dans l'équation P + L—C, il faut 
remplacer P par le triangle opposé. 
Il résulte directement de notre proposition que les surfaces des 
triangles opposés sont égales. On peut aboutir à cette conclusion 
par une autre Voie, sans considérer la grandeur même des 
triangles. Dans un triangle sphérique ABC (fig. 61), les 
arcs A'D, B'D, C'D, perpendiculaires aux milieux des côtés 
en À’, B', C', se rencontrent en un point D, à des distances des 
sommets AD, BD, CD égales entre elles. En effet, si, au lieu du 
triangle BDA’, nous prenons son opposé, en posant BA' sur A’C 
à partir de A’, BD se superposera à CD à cause de la per- 
pendicularité de DA’ dans les deux triangles. On prouvera de 
inême que BD = AD, si les deux perpendiculaires A’D, C’D se 
rencontrent en D. La perpendiculaire B'D (n° 65) doit aussi 
passer par ce point. Le triangle donné se décompose donc en 
trois triangles isoscèles ADB, BDC, CDA, qui sont égaux aux 
triangles analogues formés dans le triangle opposé. La démon- 
stration reste la même dans le cas où le point D est en dehors du 
