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triangle; seulement, pour constituer le triangle, il faut retrancher 
un triangle de la somme des deux autres ou, au contraire, retran- 
cher cette somme du troisième. 
69. On peut composer un polygone sphérique au moyen des 
triangles obtenus en menant des ares à tous les sommets à 
partir d'un point pris arbitrairement sur la sphère. On voit 
facilement, d’après cette remarque, que la grandeur du polygone 
dépend de la somme de ses angles. 
Du point À (fig. 62), pris arbitrairement à l'intérieur du 
polygone, menons les arcs AB, AC, AD, AE aux extrémités des 
côtés a, b, c du polygone. Il peut arriver qu’un arc ainsi tracé, 
par exemple AD, ajoute au triangle précédent ABC un autre ACD. 
Ce sera le cas lorsque l'arc AD augmente l'angle en À, par 
l'adjonction de DAC. Il peut arriver aussi qu'un nouvel are, par 
exemple AË, retranche de l’ancienne surface le triangle AED. 
Cela se produira quand DAE se retranchera de l'angle en A. 
Enfin l'arc mené au nouveau sommet peut coïncider avec l'are 
précédent, comme par exemple AE avec AF : rien n'est alors 
ajouté ni à la surface du polygone, ni à l'angle en A. Soient 
maintenant x le nombre des côtés du polygone, S la somme des 
angles, m le nombre des triangles qu’il faut ajouter les uns aux 
autres, M la somme de leurs angles, p le nombre des triangles 
à retrancher, P la somme de leurs angles; par conséquent, le 
nombre des côtés qui se confondent avec les ares menés du 
point À aux sommets sera n — m» — p. La surface des triangles 
qu’il faut ajouter est 5 (M — mr); de même, la surface des 
triangles à retrancher est; (P — pr); nous trouvons ainsi pour 
la grandeur du polygone 
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SL — P) no (m — p}r. 
Quand l'angle en A croit, il s'ajoute aux angles du polygone 
certains angles des triangles, ce qui donne M pour tous ces 
triangles. Quand l’angle en A décroit, on retranche des angles 
du polygone certains angles des triangles, mais comme on ajoute 
