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chaque fois 2x, on aura, dans la somme totale, 2rp — P. Enfin, 
chaque fois qu’un arc mené de A vers un sommet coïneide avec 
un côté, on ajoute + aux angles du polygone, soit en tout 
(n—m — p)r; de plus, il faut retrancher l'angle 2x autour 
de A, qui n'appartient pas aux angles du polygone. La somme 
des angles sera donc 
S=M + 2pr — P + (n — m — p)7r— 27 
—M—P+(n— m + p— 2). 
En tirant de là M — P, nous obtenons la grandeur du poly- 
gone sphérique : 
DIS m2). 
Nous aurions obtenu le même résultat si nous avions pris le 
point À en dehors du polygone ou sur un côté entre deux 
sommets ou en un sommet. Dans le second de ces cas, on a un 
triangle de moins, et il faut retrancher de la somme des angles 
des triangles l'angle x en À, puisque cet angle n'appartient pas 
au polygone. Les deux autres cas ne modifient pas la somme des 
angles des triangles; mais, quand le point est pris hors du 
polygone, on ne doit pas ajouter 2x aux angles en passant au 
dernier triangle ; car, bien que l'angle en À diminue, ce triangle 
se trouve en entier hors du polygone. Si le point A se trouve en 
un sommet, il faut compter deux triangles de moins. 
Îl ne peut donc y avoir d’angle solide quand le nombre n des 
dièdres et la somme S de ces angles sont tels que S — (n — 2)r 
ne forme pas un nombre positif. 
Nous avons parlé jusqu'à présent des polygones à contour 
unique. Si le contour est double, on joint par une ligne l'exté- 
rieur à l’intérieur, et l’on est en droit de considérer qu'il n'y 
a qu'un contour, la ligne de jonction faisant l'office d’un côté 
par lequel on peut passer d’un contour à l’autre et inversement. 
Dans l'expression générale de la surface, le nombre n est rem- 
placé par n + 2. Nous arrivons à la même conclusion en consi- 
dérant le polygone donné comme la différence de deux autres. 
