(77) 
chacune a moins de côtés que le polygone donné. Donc, en 
continuant l'opération, nous finirons par décomposer le polygone 
en triangles. Supposons qu'il y en ait m et que le polygone 
ait n côtés; le nombre 3m des côtés des triangles comprendra 
nécessairement les n côtés du polygone qui n’entrent que dans 
un seul triangle, tandis que les 3m — n restants appartiennent 
chacun à deux triangles. Le polygone à contour unique se 
décompose ainsi en m triangles ayant m — 1 côtés communs. 
Par conséquent 
1 
= (5m—n)=m—i, 
2 
d'où m— n — 2, nombre minimum des triangles dans lesquels 
se décompose un polygone de n côtés. Au contraire, dans un 
polygone à double contour, m des triangles doivent avoir m côtés 
communs, par conséquent 5n — m — 2m, d'où m—n. Les 
angles de tous ces triangles, dans les deux eas, représentent les 
angles du polygone; et comme, dans un triangle sphérique, le 
double de la surface est égal à la somme des angles moins x, 
dans le polygone sphérique de n côtés, à simple contour, le 
double de la surface est égal à la somme de tous les angles 
moins (n — 2) x, comme on l’a prouvé plus haut. 
0. Les faces d’un angle solide régulier coupent la surface 
sphérique ayant le sommet pour centre suivant un polygone 
régulier (n° 67). Cet angle aura pour axe la ligne menée du 
sommet par le centre du polygone régulier. On appelle solide 
régulier, celui qui est limité par des polygones réguliers égaux, 
se réunissant en nombre égal en chaque sommet pour constituer 
des angles solides réguliers. Le centre d'un tel solide se trouve 
à des distances égales des sommets; il est à la rencontre des 
axes et des perpendiculaires élevées au centre de chaque face. 
Considérons deux faces adjacentes A, B; menons par leurs 
centres les perpendiculaires p, q aux plans de ces faces et les 
perpendiculaires « et b à l’arête commune c (n° 52). Le plan où 
se trouvent a, b est perpendiculaire au milieu de c (n° 56) et aux 
