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faces A, B (n° 59). Il doit également comprendre les perpen- 
diculaires p, q élevées par les centres des faces (n° 59); par 
suite il coupe la surface du solide suivant un polygone soit en 
rencontrant toujours des arêtes perpendiculairement en leur 
milieu, soit en passant tour à tour par le sommet d’une face, 
puis par le milieu d'une arête qu'il rencontre à angle droit. Le 
premier cas a lieu quand le nombre de côtés des faces est pair ; 
le second quand il est impair. Dans le premier cas, le plan des 
perpendiculaires p, g, en suivant la direction des lignes a, b, 
rencontre toujours de la même façon les arêtes des faces, et 
coupe ainsi la surface du solide suivant un polygone régulier, au 
centre duquel doivent aboutir les droites p, q (n° 6%). Si le 
nombre des côtés d’une face est impair, le plan ab passe d'abord 
par un sommet de chacune des faces A, B; ensuite, il contient 
les axes des angles solides placés en ces sommets, car les 
projections de ces axes respectivement sur les plans À, B sont 
les bissectrices des angles correspondants des faces A, B, et 
comme elles passent par les centres de ces faces, elles sont les 
prolongements des droites a, b. Ensuite le plan ab entrant dans 
une face adjacente, passe de nouveau par le centre et est perpen- 
diculaire au milieu d'une arête. Ainsi, le plan ab coupe la 
surface du solide suivant un polygone dont tous les côtés sont 
égaux et dans lequel les angles de rang impair sont égaux de 
même que les autres. La bissectrice de l'un de ces angles 
partage toujours le polygone en deux parties égales ; de là suit 
que ces lignes doivent nécessairement se rencontrer en un 
point ; pour le voir, il suffit de superposer le polygone à lui- 
même en faisant coïncider deux angles égaux du polygone. Cela 
prouvé, considérons trois côtés successifs «, B, y de ce poly- 
gone (fig. 63). Ils doivent porter les centres des faces à des 
distances égales des sommets, comme nous l'avons vu plus haut. 
Élevons en ces centres, vers l’intérieur du polygone, des perpen- 
diculaires sur les côtés «, 6, y. Supposons que les perpendicu- 
laires à « et soient celles que nous avons appelées p et 9, 
et désignons par r la perpendiculaire au troisième côté y. 
Soient n, m les bissectrices des angles af et y. La perpendicu- 
