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qui donne 
4r 
à —(m—9)(r —92) 
n = 
Ici, m, qui représente le nombre des côtés d'une face, et n, 
qui désigne le nombre des faces composant un angle solide, ne 
peuvent être inférieurs à 3. D'autre part, n ne doit être ni 
négatif ni infiniment grand; par suite, ni m ni r ne doivent 
être plus grands que 5. En essayant entre ces limites les 
nombres entiers m, r, nous trouvons tous les cas : 
m—3,r—3,n—%, le solide est un tétraèdre; 
m—5,r—4,n—8, le solide est un oclaèdre; 
m = 3, r — 5, n — 20, le solide est un icosaëdre; 
m—,r—3,n —6, le solide est un cube (hexaëdre); 
m=—= 5,r = 3,n — 12, le solide est un dodécuèdre. 
Il n’y a donc pas plus de cinq solides réguliers, tandis 
qu'il y a une infinité de polygones réguliers. Dans ces derniers, 
le nombre des côtés est le même que celui des angles, tandis 
que dans les solides réguliers, sauf le tétraèdre, le nombre 
des faces et celui des dièdres diffèrent. Soit & le nombre des 
angles solides d’un de ces corps; alors le nombre nm de tous 
les angles dièdres compris dans les angles solides au centre doit 
être égal au nombre tr des angles autour des axes. Nous trou- 
vons ainsi 
4m 
rem ore) 
d’où le nombre des sommets : tétraèdre, 4; cube, 8; octaèdre, 6; 
dodécaëdre, 20; icosaèdre, 12. 
2. Considérons un solide ‘quelconque, ayant n faces, { angles 
solides et p arêtes. Nous admettons qu'à l’intérieur on puisse 
trouver un point tel que les plans menés par ce point et par 
les arêtes des faces ne rencontrent pas deux fois la surface du 
solide; les plans aboutissant à une même face formeront donc 
autour du point commun des angles solides dont la somme sera 
