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égale à 2x. Soit « le nombre des faces ayant a côtés, B le nombre 
des faces en ayant b, y celui des faces ayant c côtés, ete. Nous 
aurons 
=a+f+y + … 
2p = aa + Bb + ye + 
En remarquant que la somme des angles dièdres autour des 
sommets du solide est 2xt, nous trouvons une autre expression 
pour la somme des angles solides autour du point commun 
situé à l'intérieur du corps (n° 69). Nous obtenons ainsi 
l'équation 
Ar = Qt — aa —2)7 —$B(b—2)7r — y (c—2) r — 
En y substituant les valeurs de n et p, nous aurons 
(5) p=n+i—)2, 
Les solides réguliers appartiennent au cas que nous venons 
d'examiner. Nous connaissons déjà pour ceux-ci le nombre des 
faces et celui des angles solides; la formule (5) donnera alors le 
nombre des arêtes : tétraèdre, 6; cube, 12; octaèdre, 12; dodé- 
caèdre, 50; icosaèdre, 50. 
La relation entre le nombre des faces d’un solide, celui des 
arêtes et celui des angles solides a été donnée pour la première 
fois par Euler dans les Mémotres de l’Acadéniie de Saint-Péters- 
bourg, en 1758; Legendre en a donné plus tard une autre 
démonstration (Éléments de géométrie), enfin Cauchy s’en est 
occupé (Journal de l'École polytechnique, t. IX, p. 76). On ne 
peut cependant admettre cette proposition dans toute sa géné- 
ralité. Par exemple, les solides comprenant des faces à double 
contour font exception. Si la surface d’un solide comprend six 
triangles complets : ABC, ABD, ACD, A’B'C', A'B'D’, A'C'D' 
(fig. 64) et un triangle incomplet BCD dont le contour intérieur 
forme le triangle détaché B'C'D', les nombres p — 12, n — 7, 
t—8 ne vérifient pas l'équation (5). 
