( 87 ) 
jusqu’à ce que le prolongement CC' devienne égal à b. Nous 
obtenons un triangle ACC’ dans lequel les angles CAC, AC'C 
opposés aux côtés b sont égaux (n° 64); l'angle BA’/C est donc 
plus grand que BC'A. Ensuite, dans le triangle ABC, le côté 
AC’ € x (n° 46), d'où BC’ > AB (n° 76) ou a + b > C. 
Comme la distance de deux points pris sur la sphère non aux 
extrémités d’un diamètre est moindre qu’une demi-circonférence, 
on peut conclure qu'en remplaçant un arc par deux autres com- 
pris entre les mêmes points, l’arc de grand cercle représente la 
plus courte distance de deux points sur la sphère. 
78. Sur la sphère, la plus courte distance d'un point à un 
cercle est l'arc de grand cercle perpendiculaire moindre que 
: x, de façon que tout autre are de grand cercle tracé entre le 
point et le cercle considéré est d'autant plus grand qu'il se rap- 
proche plus du second are perpendiculaire, lequel mesure la 
plus grande distance au cercle et est toujours plus grande 
que - T. 
Soient ABC (fig. 70) un demi-cerele, et CDA un autre 
demi-cercle perpendiculaire au premier, de facon que DA < 
LÉ x et CD > ; zx. Joignons par l'arc DB l'extrémité de l’arc per- 
pendiculaire DA à un point B quelconque du premier demi- 
cercle. On obtient un triangle rectangle DBA dont les côtés 
BA < x, BD < am l'angle DBA < : x (n° 75), par conséquent 
DB > DA (n° 76). Si maintenant nous prenons un autre point 
. B' sur le même demi-cercle ABC, plus éloigné de A que B, 
uous formons un triangle BDB’ dont les angles BDB’' > 5% 
DB'B < Î+, par suite B'D > BD. Ainsi l'arc BD eroit en s’éloi- 
gnant de À sur le cercle jusqu'au point opposé C, dont la plus 
grande distance CD au point D est donnée par la perpendiculaire 
au cercle CBA. 
Cette proposition est immédiatement renfermée dans une de 
celles qui ont été démontrées plus haut (n° 66); mais nous pou- 
vons en ajouter ici une nouvelle : L'arc minimum mené d'un 
point vers un cercle est aussi le plus petit angle qu'un arc mené 
par le point forme avec le cercle considéré. Soit DB” un are per- 
