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En partageant dans le dernicr triangle en deux parties égales 
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le côté opposé à l'angle <> À et continuant à transformer ainsi 
un triangle en un autre, nous devons conclure que 
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dans cette expression, # est un nombre entier aussi grand que 
l'on veut et 2 — * À aussi petit que l'on veut; on ne peut donc 
admettre que $S — x soit un angle positif, et on doit dire ou bien 
que S = x ou bien queS < x. 
C'est Legendre qui a le premier démontré cette proposition, 
en faisant préalablement remarquer qu'un côté du triangle 
croit avec l'angle opposé. Soit, dans le triangle ABC (fig. 84), le 
côté BC > AB, et par suite l'angle BCA aigu. Donnons au côté 
BC une nouvelle position BD en diminuant l'angle ABC. On 
obtient deux triangles : l’un, isocèle, BCD avec l'angle aigu 
BDC, l’autre BDA avec l'angle aigu BDA opposé au côté AB; 
donc la somme des angles ADB + BDC € 7. Il résulte de là 
que les points B, D se trouvent de part et d'autre de la ligne 
AC ét celle-ci forme ainsi avec AD et CD le triangle ADC, 
où l'angle ACD — BDC — BCA < ADC, d'où on conclut que 
le côté AD < AC (n° 54). | dE 
Appelons b, c les côtés du triangle ABC opposés aux angles 
B, C. Prolongeons le côté b au delà du point C et sur le prolon- 
gement appliquons b sans solution de continuité, en transportant 
en même temps le triangle ABC de A vers C, de façon que l'on 
ait, dans tous les triangles égaux, les côtés AC — CC’ — C'C”..., 
et AB — CB'= C'B”..; BC — B'C'—= BC", et les angles 
BAC — B'CC' — B"C'C"….; BCA — B'C'C — B''C'C'.. En 
joignant les sommets de tous ces triangles par les lignes BB, 
B'B'’.. nous obtenons encore des triangles BCB', B'C'B”... dont 
les angles aux points C, C’... doivent être moindres que ABC si 
nous supposons la somme des angles plus grande que + dans le 
triangle ABC. En ce cas, tous les côtés BB', B'B".… seront 
égaux entre eux et chacun sera < b. En désignant par la lettre a 
