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ABE, BEF (n° 81); la somme des angles est la même _dans 
chacun, elle est done 7. he 
Un triangle quelconque ABC (fig. 87) nous étant maintenant 
donné, nous pourrons toujours prendre des nombre entiers n, m 
assez grands pour que le côté de l'angle droit AB soit < mpet 
AC € ng. Cela fait, prolongeant AB, AC au delà des points 
B,.C, et faisant AD = mp, AË = nq, nous obtenons un triangle 
DAE dont les angles ont pour somme + et à l'intérieur duquel 
se place le triangle ABC, de sorte qu’en menant la ligne DC 
nous partageons le triangle ADE en trois : DCE, BCD, ABC. Si 
nous supposons que, dans ces derniers triangles, les angles.ont 
pour somme r—a, x —f, r— y, on doit avoir dans le 
triangle ADE, S— 7 — a — $ — y— 7, car après avoir ajouté 
tous les angles on retranche 2 + en B et C; «, B, y ne pouvant 
être négatifs, on a donc : «à =— 0, f = 0, y— 0. En s'assurant 
que y = 0, on prouve que dans tout triangle rectangle la somme 
des angles est égale à x, et comme tout triangle en général se 
divise en deux triangles rectangles, les trois angles ont pour 
somme 7 dans tous les triangles. 
Legendre a également démontré cette proposition men 
de géométrie); mais, étendant la géométrie, nous admettrons 
aussi bien l’une que l'autre des hypothèses qui jusqu’à présent 
restent possibles. La Géométrie usuelle, d'accord avec les mesures 
de fait, admet que la somme des trois angles dans les triangles 
équivaut à deux droits. La Géométrie imaginaire, que nous ne 
pouvons construire que par la pensée, a pour base l'autre suppo- 
sition que, dans tout triangle, la somme des trois angles est 
moindre que deux droits. Cette somme croit à mesure que les 
côtés diminuent; quel que soit, par exemple, l'angle BAC 
(fig. 87), si la somme des trois angles est 7 — à dans A ABC, 
7 — 6 dans À BCD, 7 — y dans A DCE, nous trouvons qu’elle 
est r —«a— f5 — y dans A ADE. 
Au contraire, si nous admettons que x représente la somme 
des angles dans tout triangle, cette somme sera dans un poly- 
goné de # côtés à simple contour (n — 2)r, car n — 2 est le 
nombre minimum de triangles dans lesquels le polygone donné 
