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Nous appellerons la droite fixe, l’axe de l’involution. 
Pour démontrer la proposition énoncée, il suffit d'indiquer les 
constructions à effectuer pour déterminer l’axe d’une involution, 
dont on se donne deux couples, représentés par deux couples 
de points d'une cubique gauche C; : soient A, A'; B, B’ ces 
deux couples. 
Prenons un point M de C; et menons de ce point la transver- 
sale d aux deux droites (AA') et (BB'). La droite d est l'axe 
de l’involution. ; 
Pour obtenir le point correspondant d'un point X donné, il 
suffit de rechercher le troisième point d’intersection Y du plan 
(dX) avec la cubique gauche. 
Remarquons que ces constructions ont encore lieu quand les 
deux couples donnés sont composés de points imaginaires con- 
jugués, puisque, dans ce cas, les droites (AA”) et (BB) sont 
toujours réelles. 
Le point M est quelconque; il existe par conséquent une 
infinité d'axes pour une même involution. Ces axes forment le 
système des génératrices d’une surface réglée du second ordre. 
En effet, les axes que l’on peut mener par les différents points 
de C; s'appuient à la fois sur trois droites, qui unissent trois 
couples quelconques A, A’; B, B'; C, C' de l'involution; ces 
axes sont donc les génératrices de la surface réglée du second 
ordre, qui a ces trois droites (AA), (BB’), (CC) pour directrices. 
Nous voyons, de plus, que les droites qui unissent les couples 
de l'involution sont les directrices de la surface réglée. Nous 
pourrons donc énoncer les deux théorèmes suivants : 
Les plans tangents d’une surface du second ordre contenant 
une cubique gauche, menés le long d’une générairice, marquent 
sur celte courbe des couples en involution. 
Les droites qui unissent les points de couples en involution, 
représentés Sur une cubique gauche, sont les directrices d’une 
surface réglée du second ordre. 
6. Deux droites x et y, rencontrant C; en X et Y, définissent 
les axes de deux involutions. On peut construire facilement la 
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