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NÉE 
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3. M. Lerch a généralisé les propriétés des groupes conte- 
nant un élément multiple, en recherchant le nombre des groupes 
qui contiennent deux ou plusieurs éléments multiples associés. 
A r, éléments il correspond dans une involution I, des 
groupes de n — r, éléments formant une 1} 7:; cette involution 
possède des groupes de n — r, éléments ere un élément 
(k— r, + 1), en nombre fini; d'après ce que nous venons 
de voir, ce nombre est (n — k) (& —r, + 1). 
Cette propriété aura encore lieu quand les r, points donnés 
coïncident en un seul À; comme ce point A peut être quel- 
conque, nous pourrons énoncer le théorème suivant : 
Une involution V possède des groupes composés de deux points 
multiples associés, l’un donné d’ordre r, et l’autre d’ordre r; + 1, 
(ri + ro —K), et de n—k — 1 autres points simples, B,, 
nombre (n — k) (ro + 1). 
Il existe donc une infinité de groupes semblables; il en 
résulte qu'il n’en existera qu'un nombre fini, satisfaisant à la 
condition qu’un des éléments B, coïncide avec l'élément r,"", A. 
Comme nous venons de le voir, à un élément A il correspond 
(n — k)(r2+1)(n — k — 1) 
éléments B. 
A un élément B, il re dans Ï; des groupes de n — 1 
éléments, formant une 15°} ; cette involution possède des groupes 
en nombre fini N°; (ra. se + 1), contenant deux points multi- 
ples associés, l’un A, d'ordre r;, et l’autre d'ordre r, + 1 (nous 
représentons par la notation N° (a;a2) le nombre des groupes 
d'une 1” qui contiennent deux éléments multiples associés 
d'ordre a, et d'ordre a) ; ainsi, à un élément B il correspond 
Né (ru Ta + 1) éléments A. 
Entre les éléments A et B, il existe la eorrespondance 
j(n—R(re+ td) (n—k—1), Nr. m+t)4 
Le nombre des coïncidences est le nombre cherché ; done, 
Né(ra+ 1, ro+ 1) = (n —k)(n —k—1)(r+ 10) + NE (rs. ro+ 1). 
