(154) 
III 
Courbes et surfaces d'involution. 
1. Supposons que les groupes de n éléments d’une involu- 
tion J; soient représentés par des groupes de n points d'une 
courbe plane rationnelle d'ordre m, C,, ; si nous unissons deux 
à deux par des droites les points des groupes, nous obtenons un 
ensemble simplement infini de droites, qui enveloppent donc 
une courbe appelée courbe d’involution. 
Soit À, un point quelconque du plan : tous les rayons issus de 
ce point marquent sur la courbe C, les groupes d’une involu- 
tion d'ordre » et du premier rang, I}. Cette involution [} a, en 
commun avec l'involution I*, des couples communs en nombre 
(m — 1)(n — 1); ces couples correspondent aux tangentes de la 
courbe d'involution qui passent par le point A; nous obtenons le 
théorème suivant : 
La courbe d’involution d’une K}, représentée sur une courbe 
rationnelle plane d’ordre m, est de la classe (m — 1)(n — 1). 
En particulier, si la courbe-support est une conique, la courbe 
d'involution est de la classe (n — 1). 
Si nous remarquons que deux groupes de n éléments d’une 
involution 1? suffisent pour définir cette involution, nous pou- 
vons énoncer le théorème suivant : 
Les côtés de deux polygones complets de n sommets inscrits à 
une conique sont tangents à une courbe de classe n — 1, et il 
existe une infinité d’autres polygones complets de n sommets cir- 
conscrils à cette courbe et inscrits à la conique. 
M. Weyr (*) a démontré le théorème réciproque : Si, à un 
polygone complet de n sommets inscrits à une conique, on inscrit 
une courbe de classe n — 1, il existe une infinilé de polygones 
complets de n sommets circonscrits à cetie courbe et inscrits à la 
conique. 
(*) Ueber Involutionen hôherer Grade (Journaz pe CreLss, t. LXXII). 
