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Posons 
ki + Ko —2p—l—#k;, M = N;; 
nous pouvons énoncer le théorème suivant : 
Le nombre des groupes de p éléments appartenant à p. séries 
communes déterminées de trois homographies superposées H}:, 
1 
Do Ds 
Hi AUTRE quand on a 
ki + ko 2 k; 
HER 
#s 9 
est 
ul (ru — ka)! (no — ka)! (n3 — k:)! 
(eh)! (we — Re)! (uw — K;)! 
D'autre part, nous pouvons observer que, si une homographie 
Hs a des groupes d'éléments communs avec deux homogra- 
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phies H}t et H}? , il existe un nombre p tel que l'on ait 
2 ’ 
ks+p=k+k—p; 
il faut donc que la somme des rangs de deux de ces homogra- 
phies, diminuée du rang de la troisième, soit un nombre pair 9p, 
ou, ce qui revient au même, que la somme des rangs des trois 
homographies soit un nombre pair 2(p + k;). 
Du reste, si la somme des rangs de trois homographies est un 
nombre pair, ces trois homographies ont des groupes d'éléments 
communs en nombre fini : il suffit pour le prouver de montrer 
que, dans ce cas, un des rangs est égal à la somme des autres, 
diminuée d’un nombre pair. 
Soit ki + ko + k; — 2m; nous pouvons toujours écrire : 
BU — ka a lé = R, 
en admettant que le nombre k; est le plus petit des nombres 
k; , be ks. 
Or, 
k, == ke SF 2m; 
donc 
ce qui prouve que R est un nombre pair 2p. 
