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Formation des fonctions invariantes au moyen 
de deux systèmes contragrédients. 
12. Nous représenterons une fonction invariante o par la 
formule 
9 = Pi + Piga + + + PQ (2) 
en faisant les conventions suivantes : 1° p,, p, … p, sont des 
fonctions de certains éléments e ; 2° q;, >, … q, sont des fonctions 
d’autres éléments e'; 3° la somme p, qi + Po Qo + ++ + p,q, ne 
peut pas être remplacée par une somme analogue, comprenant 
un nombre moindre de termes. Ainsi, les quantités py, pa, …. p, 
sont linéairement indépendantes, et il en est de même de q, 
2 + Qre 
D'après l'équation de définition ® — 970, nous aurons : 
PQ + PQ + + + PQ, = 97 (piqi + pos + ++ + p,qr). (6) 
Remplaçcons dans Q4, Q, … Q, les éléments transformés 
E" par leurs valeurs exprimées au moyen des éléments primitifs e”. 
En identifiant dans les deux membres de l'équation (3) les multi- 
plicateurs des différents produits d'éléments e’, on obtiendra des 
équations linéaires L= 0, entre p;, pe, … p, et Py, P,, … P,. 
Admettons, pour un instant, que l'on ne puisse pas résoudre ces 
équations par rapport à Pr; De,  p,; d'après la formule (5), la 
quantité 
Pad + Poe He + p,q,; 
c'est-à-dire ©, serait la somme de r — r' (r° > 0) fonctions des 
éléments e’ multipliées par des combinaisons de p}, Po, … p,, 
ces combinaisons étant linéaires et à coefficients numériques. 
On pourrait ainsi réduire à r — r' le nombre des fonctions 
d'éléments e qui servent à exprimer ® [formule (2)]; cette 
réduction est contraire aux conventions établies ci-dessus. On 
peut donc exprimer p,, Ps, … p, en fonctions linéaires de P,, 
P,, … P,; de même, qi, go, … Q, s'expriment linéairement au 
moyen de Q;, Qo, … Q,, et réciproquement. 
